Ziffernfolgen

Hier mal wieder eine kleine Spielerei, die auf einer Zugfahrt entstanden ist. Die Ausgangsfrage war: Was passiert eigentlich, wenn man, ausgehend von einer Zahl, diese immer wieder mit einer festen Konstanten multipliziert. Gut. Was soll schon passieren, die Zahl wird immer größer (Multiplikator und Anfangswert größer Eins vorausgesetzt). Das ist klar, aber wie sind die einzelnen Ziffern der Zahlen verteilt. Häuft sich eine Zahl, oder kommt man zu einer Regelmäßigkeit? Man sollte erwarten, daß man... aber schauen wir erst mal.
Nebenstehend das Ergebnis, wenn man die Zahl Eins als Start nimmt und dann immer mit 3 multipliziert.
Da erkennt man noch nicht so viel. Verwendet man zur Darstellung der Ziffern, nachdem man die Zahlen in Ziffernfolgen umgewandelt hat, die Mathematica Funktion ArrayPlot, erhält man das bunte Bildchen ganz rechts außen. Die Ziffer Null ist dabei dunkelblau, die Ziffer Neun rot.
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Mit einer einfachen Mathematica-Funktion (wie hier rechts abgebildet) kann man nun unterschiedliche Iterationen ganz einfach darstellen
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Hier rechts ist die entsprechende Darstellung für 300 Iterationen dargestellt. Untersucht man die Häufigkeit der einzelnen Ziffern, ergibt sich bei kleineren Werten erst einmal ein uneinheitliches Bild, ich habe das hier mal als Balkendiagramm dargestellt. Der entsprechende Mathematica-Code ist recht kompakt
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Mit der unten gezeigten Mathematica-Funktion ist es ein Leichtes schnell ein Balkendiagramm mit zugehöriger graphischer Darstellung der Ziffernhäufigkeit zu erzeugen. Wie man in der Grafik unten sieht, ist zumindest bei den Dreierpotenzen alles so wie man es auch erwartet.
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Die einzelnen Ziffern sind also doch recht gleichmäßig verteilt. Trotzdem gibt es Auffälligkeiten. Bei genauer Betrachtung fällt auf, daß die Ziffern 1 und 3 bei den bisher betrachteten Fällen am häufigsten auftraten. Da schauen wir mal genauer hin und erzeugen die Rohdaten für die Balkengrafik in einem Schritt
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Da wir mit den Ziffern (natürlich) bei 0 anfangen zu zählen, besagt das letzte Ergebnis, daß, von zwei Ausnahmen abgesehen, stets die Ziffer 1 am häufigsten vorkam. Bei den beiden Ausnahmen war es die Ziffer 3. Anders gesagt, keine andere Ziffer als 1 und 3 war jemals "Spitzenreiter" bei der Häufigkeit der Ziffern.
Noch ausgeprägter ist dieses Phänomen bei Iterationen mit 2, also den Zweierpotenzen hier ist zwischen 100 und 1000 Iterationen stets die Ziffer 2 die am häufigsten vorkommende Ziffer bei 100 Iterationen ist es allerdings die 4, wie folgende kurze Berechnung zeigt:
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Man dar sich aber davon nicht verleiten lassen. Es gibt sehr wohl Zweierpotenzen bei denen etwa die Ziffer 6 di häufigste Ziffer ist. Allerdings habe ich festgestellt, da´ab der Zahl 2^5300 die Ziffer 4 der Spitzenreiter ist. Vielleicht habe Sie ja mal Lust so eine Zweierpotenz zu suchen, Bis 2^10000 habe ich gesucht.
Als nächstes könnte es auch mal interessant zu sein nicht die kumulativen Häufigkeiten, also die Ziffernhäufigkeit unter Betrachtung aller berechnete Iterierten, zu untersuchen, sonder die Häufigkeit innerhalb der Einzelnen Zahl. Bei 2^5300 kommt übrigens die Ziffer 8 am häufigsten vor. Die Zahl ist übrigens schon recht groß... Die Ziffer 8 kommt 183 mal darin vor.
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Download

Hier wieder das entsprechende Mathematica Notebook und die Datei als PDF. In den Dateien ist noch etwas mehr drin als hier: Eine kleine Untersuchung der Ziffernhäufigkeit in der Dualdarstellung von Zahlen bei der Iteration.

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